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实数的定义及其连续性

2016-08-23 21:00:32 By Groot

引子

先来看个东西: $$e=1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\frac1{4!}+\frac1{5!}\cdots$$ 如果我们就用这个式子来定义$e$,或者更精确地,定义 $$a_n=\Sigma_{i=0}^{n}\frac1{i!}$$ $$\lim_{n\to\infty}{a_n}=e$$

那么问题来了,这个定义是否合理呢?或者说这个极限存在吗?

如果你愿意做一些尝试,你会发现这个看似直观的结论并不容易得出,这让问题变得奥妙重重了。。。


实数的连续性

由实数的连续性,我们可以解决这个问题,实数的定义及连续性证明稍后再讲.我们先来做几个定义.

  1. 切割 对于一个数集$S$(比如有理数集$Q$),切割的直观感受就像在数轴上切了一刀一样,把$S$分成了两部分.精确地讲: 设非空数集$A,B$满足$A\bigcup B=S,A\bigcap B=\emptyset$,且对于任意的$x \in A,y \in B$成立$x < y$,则称$A,B$构成$S$的一个切割,记作$A/B$
  2. 连续性 对于一个数集$S$的任意一个切割$A/B$满足下列两个条件之一,则称$S$具有连续性
    1. $A$有最大值
    2. $B$有最小值

容易看出,有理数集$Q$不是连续的,只要构造$A=\{x\in Q|x < 0或x^2 < 2\},B=Q-A$,就会发现 $A$没有最大值且 $B$没有最小值

由实数的连续性,我们可以推出以下定理.


确界存在定理

定义:

  1. 上界:对于非空数集$S$,若有$\forall x \in S,x \leq y$则称$y$是$S$的一个上界
  2. 上确界:$S$的上界的最小值

定理:如果非空数集$S$存在上界,则$S$存在上确界 比如上面定义的集合$A$,上确界为$\sqrt 2$

证明: 设$B$为$S$所有上界的集合,$A$是$B$的补集,即:$$B = \{ y \in R | \forall x \in S,x \leq y \} $$ $$A=R-B$$ 则$A/B$是$R$的一个切割,且可以用反证法证明$A$无最大值. 假设$A$有最大值$t$ 则根据定义有$\exists x_0 \in S,t < x_0$ 然后有:

  1. $t < \frac{t+x_0}2$
  2. $\frac{t+x_0}2 < x_0$,即$\frac{t+x_0}2 \in A$

这样就和$A$有最大值$t$矛盾了

于是根据实数的连续性,$B$有最小值,即上确界存在.


单调有界数列收敛定理

作为确界存在定理的推论,我们有:

  • 如果数列$\{a_n\}$单调递增且有上界,则该数列收敛(极限$\lim_{n\to\infty}{a_n}$存在)

设集合$S$是数列$\{a_n\}$中所有元素的集合,则$S$存在上确界,记为$t$,我们有$\{a_n\}$收敛于$t$.

证明:

  1. 由于$t$是$S$的上界,$\forall a_n < t$
  2. 由于$t$是$S$的上确界,$\forall \varepsilon>0,\exists k使得a_k>t-\varepsilon$
  3. 由$(2)$推出,$\forall \varepsilon>0,\exists k 使得 \forall n\geq k有|a_n-t|<\varepsilon$

所以$\lim_{n\to\infty}{a_n}=t $


回顾

最后我们来解决最初的问题$$a_n=1+\frac1{1!}+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\frac1{4!}\cdots+\frac1{n!}$$

  1. 数列$\{a_n\}$显然是单调递增的
  2. $a_n<1+1+\frac1{2^1}+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\frac1{2^4}\cdots\leq 3$,即数列$\{a_n\}$有上界.

于是由单调有界数列收敛定理,极限存在,定义合法.


实数的定义

我们用有理数$Q$的一个切割$A/B$来定义一个实数. 从逻辑上讲,$Q$的一个切割$A/B$满足以下四个条件中的一个:

  1. $A$有最大值$a_0$,$B$没有最小值.如$A=\{x\in Q|x\leq \frac37\}$
  2. $A$没有最大值,$B$有最小值$b_0$.如$A=\{x\in Q|x\ < \frac37\}$
  3. $A$没有最大值,$B$没有最小值.如$A=\{x\in Q|x < 0或x^2 < 2\}$
  4. $A$有最大值$a_0$,$B$有最小值$b_0$.

不过情况$(4)$是不会发生的,因为这样会导致$\frac{a_0+b_0}2$属于$Q$,却不属于$A$或$B$.

我们称情况$(3)$中,切割$A/B$定义了一个无理数.

全体有理数及无理数的集合称为实数集,记作$R$


实数的运算

实数的加法运算

$A_0/B_0+A_1/B_1=A_2/B_2$,其中$A_2=\{x=x_0+x_1|x_0 \in A_0,x_1 \in A_1\},B2=Q-A2$ 然后其余的四则运算都是类似的,不一一赘述了

实数的比较运算

若$\exists x \in A,x>0$,则称$A/B>0$ 若$A_0/B_0-A_1/B_1>0$,则称$A_0/B_0>A_1/B_1$


Dedekind切割定理

$R$具有连续性,即$R$的任意一个切割$\tilde A/\tilde B$满足下列两个条件之一:

  1. $\tilde A$有最大值
  2. $\tilde B$有最小值

定义$A=\tilde A \bigcap Q,B=\tilde B \bigcap Q$,则$A/B$是$Q$的一个切割,对$A/B$分类讨论:

  1. $A$有最大值$a_0$,$B$没有最小值,则$a_0$也是$\tilde A$的最大值,证明: 若有$\tilde a \in \tilde A,a_0<\tilde a$则由有理数稠密性,区间$(a_0,\tilde a)$中存在有理数$a^{'}$,于是有:

    1. $a^{'} \in A$
    2. $a_0 < a^{'} $

    这样就和$A$有最大值$a_0$矛盾了.

  2. $A$没有最大值,$B$有最小值$b_0$,则$b_0$也是$\tilde B$的最大值,证明类似.

  3. $A$没有最大值,$B$没有最小值,记$A/B$确定的实数为$c$,则有$c$是$\tilde A$的最大值或$c$是$\tilde B$的最小值.因为$$\forall a \in \tilde A,a \leq c$$$$\forall b \in \tilde B,c \leq b$$证明: 假设$\exists\tilde a \in \tilde A,c < \tilde a$,则由有理数稠密性,区间$(c,\tilde a)$中存在有理数$a^{'}$,于是有:

    1. $a^{'} \in A$
    2. $c< a^{'} $

    这样就和$A/B$确定$c$矛盾了. 另一半的证明类似.


最后,我们终于成功地定义了$e$,可见实数的连续性是多么重要啊。。

评论

cxzxxjd
前排%%%
TA
这定义的意思不就是:不是有理数的数是无理数。。
zzyu5ds
来大学学数分吧
liu_cheng_ao
戴德金分划法←_←

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